Terminale Es Page 76

Exercice 119

$f(x)= e^{2x}-e^x$
$f'(x)= e^{2x}-e^x$
Faux: $f'(x)= 2e^{2x}-e^x$

Exercice 122

Pour trouver le minimum d'une fonction, on peut étudier ses variations puis déduire le minimum grâce au tableau de variation.

Ici, on a $f'(x)=2e^{2x}-2=2(e^{2x}-1)$. On cherche les points d'annulation de la dérivée :

(1)
\begin{align} f'(x)=0 \ \Leftrightarrow\ 2(e^{2x}-1)=0\ \Leftrightarrow \ e^{2x}-1=0 \ \Leftrightarrow e^{2x}=1=e^0\ \Leftrightarrow\ 2x=0\ \Leftrightarrow\ x=0. \end{align}

Ce qui donne comme tableau de variation :

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La fonction f est donc décroissante puis croissante, elle admet donc un minimum en 0.

Comme la valeur de ce minimum est 1, on en déduit que la fonction est toujours positive. (On n'est pas obligé de résumer le signe dans un tableau quand c'est si simple).


Exercice 123

Comme d'habitude, on commence par étudier le signe de la dérivée : $f'(x)=\left(\frac{1\times(x+1)-x\times 1}{(x+1)^2}\right)\times e^{\frac x{x+1}}=\frac 1{(x+1)^2}.e^{\frac x{x+1}}$.
Cette fonction ne s'annule pas et est toujours positive, on en déduit le tableau de variation :

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Exercice 124

Pour ce genre de question c'est toujours le théorème de la bijection que l'on utilise mais pour pouvoir l'utiliser il faut déjà connaître les variations de g.
On commence donc par calculer la dérivée (dont le premier terme est un produit) : $g'(x)=e^x\times (x-1)+e^x\times 1 + 2x = x(e^x+2)$.
Comme $e^x+2$ est toujours positif, cette dérivée est du signe de x d'où le tableau de variation :

TVexo124p76TES.png

Sur $[0;+\infty[$, la fonction g est strictement croissante et continue. De plus, 0 est compris entre g(0)=-1 et g(1)=1 (J'ai choisi g(1) mais g(18) ou n'importe quelle autre valeur de x telle que g(x) soit positive marcherait) donc, d'après le théorème de la bijection, il existe une unique solution $\alpha$ à l'équation // g(x)=0 // sur $[0;+\infty[$.
A l'aide de la calculatrice, on obtient $g(0,7)\approx -0,1141<0\ et\ g(0,8)\approx 0,194>0$ donc $0,7<\alpha<0,8$.


Exercice 125

1.

(2)
\begin{align} 2x-1+\frac 2{e^x+1}=2x - \frac{e^x+1}{e^x+1}+\frac 2{e^x+1}=2x-\frac{e^x+1-2}{e^x+1}=2x+\frac{e^x-1}{e^x+1}=f(x) \end{align}

2. L'équation de la tangente en 0 est $y=f'(0)(x-0)+f(0)$. Il faut donc calculer f(0) et f'(0). On a $f(0)=0$.

(3)
\begin{align} f'(x)=2-\frac{e^x.(e^x+1)-(e^x-1).e^x}{(e^x+1)^2}=2-\frac{2e^x}{(e^x+1)^2} \end{align}

D'où $f'(0)=\frac 3 2$.
L'équation de la tangente en 0 est donc $y=\frac 3 2\times(x-0)+0=\frac 3 2x$.

3. Pour étudier la convexité de f, il faut étudier le signe de f".

(4)
\begin{align} f''(x)=-\frac{2e^x(e^x+1)^2-2e^x\Big(2e^x(e^x+1)\Big)}{(e^x+1)^4}=-\frac{e^x(e^x+1)\Big(2(e^x+1)-4 e^x\Big)}{(e^x+1)^4}=-\frac{2e^x(-e^x+1)}{(e^x+1)^3}=\frac{2e^x(e^x-1)}{(e^x+1)^3} \end{align}

On en déduit le tableau des signes de f'' :

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La fonction est donc concave sur $]-\infty;0]$ et convexe sur $[0;+\infty[$ avec un joli point d'inflexion en 0 puisque la dérivée seconde s'annule en changeant de signe.

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