Terminale Es Page 160

Exercice N° 54

1. $P_M(T)$ est la probabilité que le test soit positif sachant que la personne est malade.
$P_\overline{M}(\overline{T})$ est la probabilité que le test soit negatif sachant que la personne n'est pas malade.

Ce n'est pas demandé mais le plus simple ici est de faire un arbre pour mieux comprendre ce qui se passe :

exo54p160Tes.png

2.a $P(M\cap T)=P_M(T)\times P(M)=0,98\times 0,05 = 0,049$
$P(\overline{M}\cap T)=P_\overline{M}(T)\times P(M)=0,01\times 0,05=0,0005$

2.b. $P(T)=0,98\times 0,05 + 0,01\times 0,05 =0,0495$

3. On cherche ici $P_T(M) =\dfrac{P(M\cap T)}{P(T)}=\dfrac{0,049}{0,0495}\approx 0,99$

Exercice N°55

1. Lorsque ce n'est pas donné par l'énoncé, toujours expliquer à quoi correspondent les lettres que l'on choisit :

On note M : "Le lapin est un mâle"
F : "Le lapin est une femelle"
A: "Le lapin est albinos"

On a alors l'arbre suivant :

exo55p160Tes.png

2. $P(A)=0,25\times 0,06 + 0,75\times 0,004 = 0,018$

3. $P_A(M)=\dfrac{P(A\cap M)}{P(A)}=\dfrac{0,25\times 0,06}{0,018}=0,83$
et $P_A(F)=1-P_A(M)=0,17$

Exercice 56

1. (Les fractions ont été simplifiées)

exo56p160Tes.png

2. $P(E)=P(B_1\cap B_2)= \dfrac{15}{25}\times\dfrac{14}{24}=\dfrac{3}5\times \dfrac 7{12}=\dfrac{7}{20}$

$P(F)=P(\overline{B_1}\cap B_2)= \dfrac{10}{25}\times\dfrac{15}{24}=\dfrac{2}5\times \dfrac 5{8}=\dfrac{1}{4}$

3. $P(B_2)=\dfrac{3}5\times \dfrac 7{12}+ \dfrac 2 5\times \dfrac 5 8=\dfrac{7}{20}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{5}$

$P_{B_2}(B_1)=\dfrac{P(B_1\cap B_2)}{P(B_2)}=\dfrac{\frac{7}{20}}{\frac{3}{5}}=\dfrac{7}{12}$

$P_{B_2}(F)=\dfrac{P(B_2\cap F)}{P(B_2)}=\dfrac{P( F)}{P(B_2)}$ (car dans l'événement F il est déjà inclus le fait que la deuxième boule est blanche.)
Donc $P_{B_2}(F)=\dfrac{\ \frac{1}{4}\ }{\frac{3}{5}}=\dfrac{5}{12}$

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