Produit Scalaire Premiere S P 207

Exercice 118

Piste : Calculer $\overrightarrow{AB}. \overrightarrow{CA}$ avec la formule utilisant les normes uniquement et en remarquant que $\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CB}$.

Exercice 119

C'est évident qu'il faut utiliser la formule avec le cosinus.

Exercice 120

C'est le cas particulier où les vecteurs sont colinéaires, il suffit de multiplier les normes (avec le signe moins si les sens sont opposés).

Exercices 121

En projetant B sur (AC)…

Exercice 122

Avec la formule utilisant les coordonnées.

Exercice 123

Dans cette situation, le triangle est rectangle (voir programme de quatrième).

Exercice 124

Dans ce cas, ABC est un triangle isocèle en B. Si on projete B sur (AC), on obtient le milieu de [AC]…

Exercice 125

Idem… on projete C sur (AB)…

Exercice 126

On connait les longueurs et les angles…

Exercice 127

Même remarque que pour l'exercice 124

Exercice 128

On trouve l'angle $\widehat{BAC}$ puis on utilise la formule avec les cosinus

Exercice 129

C'est pareil que pour l'exercice 123

Exercice 130

A est forcément l'origine O du repere. Le point B a des coordonnées de la forme (b,b) et C a pour coordonnées (c,-c). On utilise alors la formule avec les coordonnées.

Exercice 131

1. $\overrightarrow{BA}. \overrightarrow{BC} = \dfrac{1}{2}(\| \overrightarrow{BA}+ \overrightarrow{BC}\|^2 -\| \overrightarrow{ BA}\|^2-\| \overrightarrow{BC}\|^2)=\dfrac 1 2 (\| \overrightarrow{BD} \|^2 -\| \overrightarrow{ BA}\|^2-\| \overrightarrow{BC}\|^2) =\dfrac 1 2 ( 100 -49-81)=-15$

$\overrightarrow{BA}. \overrightarrow{DC} =\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{AB}=- AB^2=-49$

$\overrightarrow{AD}. \overrightarrow{CD}= \overrightarrow{BC}. \overrightarrow{BA} =\overrightarrow{BA}. \overrightarrow{BC} = -15$

$\overrightarrow{AB}. \overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AB}. (\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD})=\overrightarrow{AB}. \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}. \overrightarrow{CD} = -\overrightarrow{BA}. \overrightarrow{BC} +\overrightarrow{BA}. \overrightarrow{DC}=15-49=-34$

$\overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}. \overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{BA}. \overrightarrow{BC}=15$

2. On sait que $\overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AD} = \dfrac{1}{2}(\| \overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{AD}\|^2 -\| \overrightarrow{AB}\|^2-\| \overrightarrow{AD}\|^2)=\dfrac 1 2 (\| \overrightarrow{AC} \|^2 -\| \overrightarrow{AB}\|^2-\| \overrightarrow{AD}\|^2)= \dfrac 1 2 (AC^2 - 49 - 81)= \dfrac 1 2 (AC^2 -130)$

Or d'après la question précédente, $\overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AD} =15$, donc $\dfrac 1 2 (AC^2 -130) = 15$. D'où $AC^2 = 160$ et donc $AC=\sqrt{160}$.

Exercice 132

Pour savoir ce qu'il faut faire, il suffit de se demander comment on obtient des angles à partir des coordonnées… Et bien directement, on ne peut pas. Par contre, on sait calculer les produits scalaires qui eux nous permettent de connaitre les cosinus des angles et donc ensuite connaître les angles.

Donc première étape : calcul des produits scalaires à partir des coordonnées :

$\overrightarrow{AB}=\left(\begin{array}{c} 9\\ 3 \end{array}\right)$, $\qquad \overrightarrow{AC}=\left(\begin{array}{c} 12\\ 1 \end{array}\right)$ et $\overrightarrow{BC}=\left(\begin{array}{c} 3\\ -2 \end{array}\right)$

$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=9\times 12+ 3\times 1=111$, $\qquad \overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}= (-9)\times 3 + (-3)\times (-2)=-21$
(le troisième produit scalaire ne sert à rien puisque si on connait 2 angles, on trouve le troisième facilement car la somme des 3 angles fait 180 °)

Or on a aussi :

$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB\times AC\times cos(\widehat{BAC})$ et $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=BA\times BC\times cos(\widehat{ABC})$

Il faut donc calculer aussi $AB$, $AC$ et $BC$. On a :

$AB=\sqrt{9^2+3^2}=\sqrt{90}$, $\qquad AC=\sqrt{12^2+1^2}=\sqrt{145}$ et $\qquad BC=\sqrt{3^2+(-2)^2}=\sqrt{13}$

D'où en remplaçant, on obtient :

$111=\sqrt{90}\times\sqrt{145}\times cos(\widehat{BAC})$, d'où $cos(\widehat{BAC})=\dfrac{111}{\sqrt{90\times 145}}\approx 0,972$. On en déduit que $\widehat{BAC}\approx cos^{-1}(0,972)\approx 13,7°$ (Attention à ce que la calculatrice soit en mode degré (si vous voulez des degrés…))

De même, on a $-21=\sqrt{90}\times\sqrt{13}\times cos(\widehat{ABC})$ , d'où $cos(\widehat{ABC})=\dfrac{-21}{\sqrt{90\times 13}}\approx -0,614$ . On en déduit que $\widehat{ABC}\approx cos^{-1}(-0,614)\approx 127,9°$

Et finalement on a $\widehat{ACB}=180-13,7-127,9=38,4 °$

Pour celui-ci il fallait peut-être un peu plus de 10 min …

Exercice 133

Pour le premier, on a pas trop le choix, il vaut mieux utiliser la formule avec le cosinus (ou de projecter un des vecteurs sur l'autre) :

$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB\times AC\times cos(\widehat{BAC})= 6 \times 6\times cos(\dfrac\pi 3)=36\times\dfrac 1 2= 18$

Ici le plus simple est de décomposer (même si on pourrait utiliser le cosinus aussi)

$\overrightarrow{CB}.\overrightarrow{AC}=(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}).\overrightarrow{AC} =\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=-6\times 6+ 18=-18$

$\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{CJ}=(\overrightarrow{AC} +\overrightarrow{CI}).(\dfrac 1 2 \overrightarrow{CA})=\dfrac 1 2\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CA}+\dfrac 1 2 \overrightarrow{CI}.\overrightarrow{CA}=-\dfrac 1 2 \times 6\times 6 +\dfrac 1 2 (\dfrac 1 2 \overrightarrow{CB}).\overrightarrow{CA}=-18+\dfrac 1 4 \times 18 =-\dfrac{27}{2}$

Pour aller plus vite : la droite (IJ) est la droite des milieux donc parallèle à (AB) et IJ vaut la moitié de AB donc 3 (Décidément ce programme de 4ieme est partout…) . Il suffit donc de multiplier les longueurs puisque les vecteurs sont colinéaires (avec un signe moins car ils sont de sens opposé) :

$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{IJ}=-6\times 3 = -18$

On pouvait bien sur faire autrement.

Exercice 134

1. Avec les coordonnées, c'est presque trop facile…

Dans $(A, \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD})$ les coordonnées sont :

$B(8,0),\qquad C(8,6) \qquad O(4,3)$

D'où $\overrightarrow{OB}\left(\begin{array}{c} 4\\ -3\end{array}\right) \qquad et\qquad \overrightarrow{OC}\left(\begin{array}{c} 4\\ 3\end{array}\right)$

On a donc $\overrightarrow{OB}.\overrightarrow{OC}=4\times 4 + (-3)\times 3= 7$

2. Pour obtenir un angle il faut forcément passer par l'expression du produit scalaire avec le cosinus ce qui donne :

$\overrightarrow{OB}.\overrightarrow{OC}=OB\times OC\times cos(\widehat{BOC})$

En utilisant le théorème de Pythagore, on obtient que $OB=OC=5$

En remplaçant ce qu'on connait, on obtient :

$7= 5\times 5\times cos(\widehat{BOC})$

D'où $cos(\widehat{BOC})=\dfrac 7{25}$ et finalement $i\widehat{BOC}= cos^{-1}(\dfrac 7{25})\approx 73,74°$

Exercice 135

Pour montrer que les droites sont perpendiculaires, on va montrer que $\overrightarrow{AE}.\overrightarrow{BF}=0$.

Pour cela, on peut utiliser les coordonnées (et ça marche assez facilement) ou bien décomposer les vecteurs :

$\overrightarrow{AE}.\overrightarrow{BF} =( \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}).(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CF})=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CF}+\overrightarrow{BE}.\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BE}.\overrightarrow{CF}=0+(-\dfrac 1 3)+\dfrac 1 3 + 0=0$

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