Premiere S Page 75

Numéro 95 p.75 : Alex et Antho !

1. f(x)=x^2-4x+6 et g(x)=$\frac{x^2}{3}$ donc :
f(3)=3^2-4*3+6
=9-12+6
=3

f'(x)=2x-4
f'(3)=2

g(3)=3

g'(x)=\frac{2x}3
g'(3)=2

2. f(3)=g(3)=3 donc les courbes se coupent au point de coordonnée A(3;3).
De plus, f'(3)=g'(3)=2 donc les équations des tangentes à $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ au point A sont égales. Ces courbes ont donc une tangente commune au point A.

Exercice 116

La fonction est de la forme $\frac U V$ donc la dérivée est de la forme $\frac{U'V-UV'}{V^2}$ avec $U(x)=2x+1$ et $V(x)=-x+2$. On a donc $U'(x)=2$ et $V'(x)=-1$. D'où :

(1)
\begin{align} u'(x)=\frac{2\times(-x+2)-(2x+1)\times(-1)}{(-x+2)^2}=\frac{-2x+4+2x+1}{(-x+2)^2}=\frac 5{(-x+2)^2} \end{align}

Exercice 117

On calcule déjà la dérivée de f : $f'(x)=3x^2+6x$. L'énoncé demande donc de trouver a tel quel $3a^2+6a=2$. Autrement dit on cherche à résoudre $3a^2+6a-2=0$. On a $\Delta=36-4\times3\times(-2)=50>0$. On a donc deux solutions qui sont $a_1=\dfrac{-6-\sqrt{50}}{6}$ et $a_2=\dfrac{-6+\sqrt{50}}{6}$.
Il y a donc deux réels tels que $f'(a)=2$.

Exercice 118

Rappel : Deux droites sont parallèles si elles ont même coefficient directeur. Or le coefficient directeur de la tangente en $a$ est $f'(a)$ (où $f(x)=\dfrac 4 x$). L'énoncé demande donc de trouver les $a$ tels que $f'(a)=-2$.
Or $f'(x)=-\dfrac{4}{x^2}$ donc on cherche à résoudre l'équation en $a$ : $-\dfrac{4}{a^2}= -2$ ce qui équivaut à $-4=-2a^2$ c'est à dire $a^2=2$. On a donc deux solutions $a=-\sqrt 2$ ou $a=\sqrt 2$.

Exercice 119

L'axe des abscisses a pour équation $y=0$ autrement dit son coefficient directeur est 0. On fait comme dans l'exercice précédent : $p'(x)=3x^2-8x$. On cherche donc à résoudre $3a^2-8a=0$ et on trouve (en utilisant les formules avec $\Delta$ par exemple) que $a=0$ ou bien $a=\dfrac 8 3$.

Exercice 120

$f'(x)=2x$. L'équation de la tangente est donné par $y=f'(1)(x-1)+f(1)$. Or $f(1)=4$ et $f'(1)=2$ donc l'équation de la tangente en 1 est $y=2(x-1)+4=2x+2$.

Exercice 121

f est le produit de la fonction $u(x)=x$ par la fonction $v(x)=1+\sqrt{x}$. La dérivée est donc de la forme u'v+uv' ce qui donne :

(2)
\begin{align} f'(x)=1\times (1+\sqrt{x}) + x\times \frac 1{2\sqrt{x}}=1+\sqrt{x} + \frac{\sqrt{x}}{2}=1+\frac 32 \sqrt{x} \end{align}

Pour h, soit on dit que c'est le produit de $u(x)=x+\sqrt{x}$ par lui-même, soit on utilise la formule de dérivation de $u^n$ pour n=2 (ce que nous allons faire ici) : la dérivée de h est de la forme $nu^{n-1}\times u'$ c'est à dire :

(3)
\begin{align} h'(x)=2(x+\sqrt{x})\times (1+\dfrac{1}{2\sqrt{x}})=2x+2\sqrt{x}+\dfrac{2x}{2\sqrt{x}}+\dfrac{2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}=2x+2\sqrt{x}+\sqrt{x}+1= 1+2x+3\sqrt{x} \end{align}
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