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Exercice 119

$\frac{\sqrt{2}} 2 = \sin(\frac\pi 4)$ donc on a $2x\equiv \frac\pi 4 [2\pi]$ ou $2x\equiv \pi-\frac\pi 4\equiv \frac{3\pi}{4}[2\pi]$. On en déduit $x\equiv \frac\pi 8 [\pi]$ ou $x\equiv \frac{3\pi}{8}[\pi]$.

Exercice 120

On a $2\cos^2(x)-\cos(x)=\cos(x)\big(2\cos(x)-1\big)=0$ donc $\cos(x)=0$ ou $2\cos(x)-1=0$. D'où $\cos(x)=\cos(\frac\pi 2)$ ou $\cos(x)=\frac 1 2 =\cos(\frac\pi 3)$. On a donc $x\equiv \frac\pi 2[2\pi]$ ou $x\equiv -\frac\pi 2[2\pi]$ ou bien $x\equiv \frac\pi 3[2\pi]$ ou $x\equiv-\frac\pi 3[2\pi]$.

Exercice 121

$(2\cos(x)-\sqrt{3})(\cos(x)-1)=0 \quad \Leftrightarrow \quad 2\cos(x)-\sqrt{3}=0 \ ou\ \cos(x)-1=0 \quad \Leftrightarrow \quad \cos(x)=\frac{\sqrt 3} 2=\cos(\frac \pi 6)\ ou\ \cos(x)=1=\cos(0)$
D'où $x\equiv \frac\pi 6[2\pi] \ ou\ x\equiv-\frac\pi 6[2\pi] \ ou\ bien \ x\equiv 0[2\pi]$
Dans $[0;\pi]$, il n'y a comme solutions que $\frac\pi 6$ et $0$.

Exercice 129 à 134

  • Faux (prendre par exemple $x=\frac\pi 4$).
  • Faux. L'équation revient $\sin(x)=\frac 5 4$ qui n'a pas de solution car le sinus est toujours entre 1 et -1
  • Vrai car $\cos(\pi+x)=-\cos(x)$ et donc $3\cos^2(\pi+x)-1=3\cos^2(x)-1=0$
  • Faux car pour un angle entre $\frac{3\pi}2$ et $\frac{5\pi}{2}$, le cosinus est positif donc ne peut pas valoir $-\frac 1 2$.
  • Faux car $-\frac{53\pi}{15}+\frac{\pi} 5 \equiv -\frac{10\pi}{3} \equiv \frac{2\pi}{3}[2\pi]$ dont le sinus vaut $\frac{\sqrt{3}}2$.
  • Vrai. Ces solutions sont $\frac\pi 4$ et $-\frac{3\pi} 4$.

Exercice 135

(1)
\begin{align} \frac{42\pi}{4} \equiv \frac{4\times 10\pi +2}{4} \equiv 10\pi + \frac{2\pi} 4\equiv \frac{2\pi} 4 [2\pi]\\ -\frac{75\pi}{2}\equiv -\frac{2\times 38\pi -\pi}{2} \equiv -38\pi + \frac \pi 2\equiv \frac \pi 2[2\pi]\\ \frac{430\pi}{5}\equiv \frac{5\times 86\pi}{5} \equiv 86\pi \equiv 0 [2\pi] \end{align}

Exercice 136

(2)
\begin{align} (\overrightarrow{KN},\overrightarrow{KM})\equiv -\frac{\pi}{2}[2\pi] \\ (\overrightarrow{PN},\overrightarrow{MQ})\equiv \pi[2\pi] \\ (\overrightarrow{KP},\overrightarrow{NQ})\equiv \frac{\pi}{2}[2\pi] \\ \end{align}

Exercice 137

1) On a $\sin^2(\frac{\pi} 5) + \cos^2(\frac \pi 5) = 1$ donc $\sin^2(\frac{\pi} 5)= 1- m^2$. Or $\frac\pi 5$ a des coordonnées positives car il est compris entre 0 et $\frac \pi 2$ donc son sinus est positif. On a donc $\sin (\frac{\pi} 5) = \sqrt{1-m^2}$.
On en déduit

(3)
\begin{align} \cos(\frac{4\pi}{5})=\cos(\pi-\frac\pi 5)=-\cos(\frac\pi 5)=-m\\ \sin(\frac{4\pi}{5})=\sin(\pi-\frac\pi 5)=\sin(\frac\pi 5)=\sqrt{1-m^2}\\ \cos(\frac{6\pi}{5})=\cos(\pi+\frac\pi 5)=-\cos(\frac\pi 5)=-m\\ \sin(\frac{6\pi}{5})=\sin(\pi+\frac\pi 5)=-\sin(\frac\pi 5)=-\sqrt{1-m^2} \end{align}

2) On a $\frac \pi 2 - \frac\pi 5 = \frac{3\pi}{10}$ et $\frac \pi 2 + \frac\pi 5 = \frac{7\pi}{10}$.
On en déduit :

(4)
\begin{align} \cos(\frac{3\pi}{5})=\cos(\frac\pi 2-\frac\pi 5)= \sin(\frac\pi 5)=\sqrt{1-m^2}\\ \sin(\frac{3\pi}{5})=\sin(\frac\pi 2-\frac\pi 5)=\cos(\frac\pi 5)=m\\ \cos(\frac{7\pi}{5})=\cos(\frac\pi 2+\frac\pi 5)=-\sin(\frac\pi 5)=-\sqrt{1-m^2}\\ \sin(\frac{7\pi}{5})=\sin(\frac\pi 2+\frac\pi 5)=\cos(\frac\pi 5)=m \end{align}

Exercice 138

(5)
\begin{align} \cos x +1 =0\quad \Leftrightarrow \quad \cos x= -1 = \cos \pi \quad \Leftrightarrow \quad x \equiv \pi[2\pi] \end{align}

Remarque : Normalement il y a 2 solutions opposées mais ici $\pi\equiv -\pi [2\pi]$ donc les deux solutions sont confondues.

Exercice 139

(6)
\begin{align} \sin(7\pi+x)=\sin(\pi+x)=-\sin(x)\\ \cos(13\pi+x)=\cos(\pi+x)=-\cos(x)\\ \sin(x-\frac{3\pi}2)=\sin(x+\frac\pi 2)=\cos(x)\\ \sin(-3\pi-x)=\sin(\pi-x)=\sin(x)\\ \cos(\pi+x)+\sin(\pi-x)=-\cos(x)+\sin(x) \end{align}
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