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Exercice 114

1.

(1)
\begin{align} v_{n+1}-v_n=n+1+\dfrac{1}{2n+1} -n-\dfrac{1}{2n-1}=1-\dfrac{2}{(2n+1)(2n-1)}=1-\dfrac 2 {4n^2-1}=\dfrac{4n^2-3}{4n^2-1} \end{align}

2. Pour $n\geq 1$ on a clairement $4n^2-1>4n^2-3>0$. Pour $n=0$, on a $\dfrac{4n^2-3}{4n^2-1}=3>0$. On a donc pour tous entier naturel n, $v_{n+1}-v_n>0$ et donc $(v_n)$ est une suite croissante.

3.

(2)
\begin{align} n+\dfrac 1{2n-1}\geq 1000\quad \Leftrightarrow\quad n(2n-1) + 1 \geq 1000(2n-1) \quad \Leftrightarrow\quad 2n^2-n +1 -2000n+1000\geq 0 \quad \Leftrightarrow\quad 2n^2-2001n+1001 \geq 0 \end{align}

On a un polynôme du second degré dont le coefficient devant $x^2$ est positif. Ce polynôme est donc positif en dehors des racines. On calcule donc $\Delta = (-2001)^2-4\times 2\times 1001=3\ 995\ 993$. Le polynôme est donc positif pour $n\geq x_2=\dfrac{2001+\sqrt{3\ 995\ 993}}{4}\approx 999,999$. Donc $v_n\geq 1000$ dès que $n\geq 1000$

Exercice 115

1. On observe que $( u_n)$ semble décroitre vers 0.

2. et 3. Tant qu'à faire on fait les deux questions d'un coup. Pour la question 2., on peut essayer de trouver la réponse avec la calculatrice (soit avec la table de valeur, soit avec un programme de recherche de seuil).
$u_n>0$ pour tout n donc on s’intéresse à l'autre inégalité.

(3)
\begin{align} \dfrac{2n+1}{n^2+1}\leq 10^{-p} \quad \Leftrightarrow\quad 2n+1\leq (n^2+1)10^{-p} \quad \Leftrightarrow\quad 10^{-p}n^2-2n -1+10^{-p}\geq 0 \end{align}

Comme pour l'exercice précédent, on calcule $\Delta_p = (-2)^2-4\times10^{-p}\times (-1+10^{-p}) >0$. Et $10^{-p}n^2-2n -1+10^{-p}\geq 0$ si n est en dehors des racines autrement dit ici (comme n positif), pour $n\geq x_2=\dfrac{2+\sqrt{\Delta_p}}{2\times 10^{-p}}$

Pour p=3, on obtient $\Delta_3=4.003996$ et $x_2\approx2000,5$ donc $n_0=2001$

Exercice 116

1. $a_{n+1}=a_n +7$. $(a_n)$ est donc une suite arithmétique de raison 7 et de premier terme 1500. Elle s'exprime en fonction de n par la formule : $a_n=a_0+ n\times r=1500 + 7n$

2. $a_n\geq 2000\quad \Leftrightarrow\quad 1500 +7n \geq 2000 \quad \Leftrightarrow\quad 7n \geq 500 \quad \Leftrightarrow\quad n\geq \dfrac{500}7\approx 71,4$.

Donc son salaire dépassera 2000 euros le 72ieme mois.

3. En tout elle aura percue $a_0+a_1+...+a_{72} =72\times\dfrac{a_0+a_{72}}{2}=72\times\dfrac{1500+2004} 2=126\ 144$

Exercice 117

1. $D_1= 300\times \dfrac{80}{100}=240$ (Car si on enlève 20%, il reste 80%)

2. $D_{n+1}=\dfrac{80}{100} D_n$, c'est une suite géométrique qui s'exprime en fonction de n sous la forme : $D_n=D_0\times q^n=300\times\left(\dfrac{80}{100}\right)^n$

3. $D_0+D_1+D_2+...+D_{30}=D_0\times \dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}=300\times\dfrac{1-\left(\dfrac{80}{100}\right)^{31}}{1-\dfrac{80}{100}}\approx 1498,5$

Exercices corrigés du livre Math'X :

Les exercices :

Première partie :

Exos%20Suites.pdf

Seconde partie :

DOC210114-001.pdf

Les corrections :

correction%20exos%20suites.pdf

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