Exercice 83
$f(x) = 2x^3+4x$ donc $f'(x)=6x^2+4$ qui est clairement positive pour tout réel $x$.
On en déduit le tableau :
Exercice 84
$f(x)=-x^3+3x+5$ donc $f'(x)=-3x^2+3$. C'est un polynôme du second degré donc son signe est celui du coefficient devant $x^2$ en dehors de ses racines et le signe opposé entre les racines.
$\Delta = 0^2-4\times(-3)\times 3=36$. On a donc $x_1=\dfrac{-6}{2\times(-3)}=1$ et $x_2=-1$.
Remarque : si on trouve directement que 1 et -1 sont des racines, on n'est pas obligé de calculer $\Delta$ etc.
On trouve alors :
Exercice 85
$f(x)=-x^3+x^2$ donc $f'(x)=-3x^2+2x$. C'est un polynôme du second degré, on trouve les deux racines qui sont $0$ et $\dfrac 2 3$ et on en déduit :
Exercice 86
$f(x)=x^3-x^2+1$ donc $f'(x)=3x^2-2x$. C'est un polynôme du second degré dont les racines sont $0$ et $\dfrac 2 3$ . On en déduit :
2. Sur $[0;+\infty[$, la fonction est décroissante sur $[0 ;\dfrac 2 3]$ puis décroissante sur $[\dfrac 2 3; +\infty$. Elle admet donc un minimum en $\dfrac 2 3$ qui vaut $\dfrac{23}{27}$.
3. Comme $f(x)\geq\dfrac{23}{27}\geq 0$, la fonction est positive sur $[0;+\infty[$.
Exercice 87
$f(x)=x^3-3x-2$ donc $f'(x)=3x^2-3$ dont les racines sont 1 et -1. On a donc :
2. Chercher à résoudre $x^3>3x+2$ est équivalent à résoudre $f(x)>0$. On d'après le tableau de variations, $f$ est négative sur $]-\infty; 1]$ mais elle est strictement croissante sur $[1;+\infty[$ donc si un $x$ existe, il faut le chercher plus grand que 1. On a $f(2)=0$ donc 2 ne convient pas mais comme $f$ est strictement croissante, $f(x)>0$ pour tous les $x>2$. La réponse est donc oui il en existe et on peut même tous les donner, c'est $]2,+\infty[$
Exercice 88
$f(x)=x+\dfrac 4 x$ donc $f'(x)=1-\dfrac{4}{x^2}$. On cherche, pour $x>0$, le signe de $f'(x)$. On peut donc résoudre $f'(x)>0$ ce qui donne
(1)Ce qui donne :
2. La fonction est décroissante sur $]0;2]$ puis croissante sur $[2;+\infty[$, elle admet donc un minimum en 2 qui vaut 4.
Exercice 89
$f(x)=x^2-\dfrac 1 x$ donc $f'(x)=2x+\dfrac{1}{x^2}$ qui est toujours positif pour $x>0$. On en déduit :
2. $f(1)=0$
3. On a donc
4. La question revient à : Existe-t-il des réels strictement positifs tels que $f(x)\leq 0$. La réponse est oui, tout l'intervalle $]0;1]$ d'après la question précédente.